理论力学（甲） | 嘎嘎’s NoteBook

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分析力学基础(不考)

1. 力学发展概述

1600-1900年：经典力学时期，分为奠基、发展和成熟三个阶段，各历时约100年。

1900年后：力学成为独立学科，侧重解决工程问题，形成近代力学。

1960年后：计算机广泛应用，现代力学诞生。

理论力学课程：经典力学发展阶段的教学内容，涉及部分成熟阶段成果。

2. 分析力学的起源与特点

18世纪：处理多个约束的刚体系统动力学问题。

1788年：拉格朗日发表《分析力学》，提出新观点和方法，使用功和能量描述物体运动和相互作用力的关系。

分析力学特点：

把约束看作对系统位置的限定，而非力。

使用广义坐标、功、能等标量研究系统运动，大量使用数学分析方法。

追求一般理论和一般模型，处理问题规范化。

研究获得运动微分方程的方法及其求解的一般方法。

3. 自由度和广义坐标

自由度：确定质点系位置的独立参数数目。

广义坐标：描述质点系在空间中的位置的独立参数。

完整约束下，广义坐标的数目等于系统的自由度数。

非完整约束下，广义坐标的独立变分数目称为系统的自由度。

n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束作用自由度数为

对于完整约束广义坐标的数目＝系统的自由度数

4. 质点系平衡条件

以广义坐标表示的质点系平衡条件：系统所有的广义力都等于零。

广义力求解的两种方法

一、直接计算法（解析法）

使用直接计算法求解广义力时，可以通过以下公式计算：

这里，分别是第个质点在方向上的力分量，而是第个质点的位置坐标对广义坐标的偏导数。

二、几何法

几何法利用广义虚位移的任意性来求解广义力。具体做法是，令某一个广义虚位移不等于零，而其他个广义虚位移都等于零。通过这种方式，可以得到：

进一步地，广义力可以表示为：

这里，是力在广义虚位移上的虚功。这种方法通过考虑力在虚位移上的做功来定义广义力，是一种基于能量角度的求解方法。

5. 势力场与平衡稳定性

力场：所受力的大小方向完全由所在位置确定，这部分空间称力场。

势力场：在力场中，作用于运动质点上的力所作的功只与质点运动的起止位置有关，与路径无关。

有势力：在势力场中受到的力，也称保守力。

平衡稳定性判据：

不稳定平衡：势能具有极大值。
随遇平衡：势能不变。
稳定平衡：势能具有极小值。

6. 动力学普遍方程

描述非自由质点系的动力学问题。

理想约束条件下，质点系在任一瞬时所受的主动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作的功的和等于零。

7. 第二类拉格朗日方程

系统具有N=3n-s个自由度，其中n为质点数，s为完整约束数。

拉格朗日方程：描述系统动力学的微分方程。

这里，表示系统的动能，表示广义坐标，表示广义速度，即广义坐标的时间导数，表示与广义坐标相关的广义力。这个方程是拉格朗日方程的一种形式，用于描述系统动力学。

拉格朗日函数（动势）：，其中为动能，为势能。

8. 例题解析

例1-6：轮A沿水平面纯滚动，求系统的运动微分方程。

例1-7：两个物体沿光滑水平面移动，求系统的运动微分方程。

以上讲义概述了分析力学基础的主要内容，包括力学的发展、分析力学的特点、自由度与广义坐标的概念、质点系的平衡条件、势力场与平衡稳定性、动力学普遍方程以及第二类拉格朗日方程。通过例题解析，进一步加深对理论的理解。

虚位移原理

一、约束·虚位移·虚功

1. 虚位移原理

普遍适用于研究任意质点系的平衡问题，应用功的概念分析系统的平衡问题。从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。

2. 约束及其分类

(1) 约束方程：限制质点或质点运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。

(2) 约束的分类：

① 几何约束和运动约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。方程的一般形式为。当约束对质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。方程的一般形式为。

② 定常约束和非定常约束：约束条件不随时间变化的约束称为定常约束，在定常约束的约束方程中不显含时间。约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。

③ 双面约束和单面约束：在两个相对的方向上同时对质点系限制的约束称为双面约束，双面约束的约束方程式为等式。只能限制质点系单一方向的约束称为单面约束，单面约束的约束方程式为不等式。

④ 完整约束和非完整约束：如果约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。如果约束方程中包含坐标对时间的导数（如运动约束），而且方程不能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。非完整约束方程总是微分方程的形式。

3. 虚位移

在某瞬时，质点在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。虚位移用符号表示，它是变分符号，“变分”包含有无限小“变更”的意思。

4. 实位移与虚位移的不同

实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关；虚位移仅与约束条件有关。因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常约束的条件下，实位移只是虚位移中的一个，而虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。对于非定常约束，某个瞬时的虚位移是将时间固定后，约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的，所以这时实位移不一定是虚位移中的一个。

5. 虚功

力在虚位移中作的功称为虚功，一般记为。因为虚位移只是假想的，不是真实发生的，因而虚功也是假想的。

(1) 几何法表示：或

(2) 解析法表示：

6. 理想约束

如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束为理想约束。质点系受理想约束的条件：

二、虚位移原理

1. 虚功方程

对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是——作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功的和等于零，即或用解析法表示为。

2. 虚位移原理的应用

(1) 系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系。

(2) 求系统在已知主动力作用下的平衡位置。

(3) 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束力。

(4) 求平衡构架二力杆的内力。

3. 自由度和广义坐标

(1) 自由度：确定一个受完整约束质点系的位置所需的独立参数的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。一般受到个约束、由个质点组成的质点系，其自由度为。

(2) 广义坐标：用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的，可以取线位移也可以取角位移。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。

4. 虚位移原理解题步骤

(1) 确定研究系统，分析约束类型。

(2) 选择合适的广义坐标，决定虚位移。

(3) 分析作用于系统的主动力。

(4) 建立必要坐标系，写出虚功方程。

(5) 找关系，求解方程。

几何法

解析法

求约束力→去掉约束，变为主动力

达朗贝尔原理

一、惯性力：质点的达朗贝尔原理

1. 惯性力的概念（重点）

惯性力是指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向。惯性力实际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因此惯性力又称为假想力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，它的方向与质点加速度的方向相反。公式为：。

2. 质点的达朗贝尔原理

作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。注意：质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。

二、质点系的达朗贝尔原理

1. 定义

质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束力和它的惯性力形式上组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。其主矢和对任一点的主矩也等于零。

2. 方程式

实际应用时，同静力学一样任意选取研究对象，将方程投影到任意坐标轴上，列平衡方程求解。

三、刚体惯性力系的简化

1. 惯性力系的主矢

质点系内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力形成一个力系，称为惯性力系。可以利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。

以表示惯性力系的主矢。由质心运动定理得：

主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置无关。

2. 惯性力系的主矩

(1) 刚体平移：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。即。

(2) 刚体定轴转动：当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴。这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反，即。

(3) 刚体平面运动（平行于质量对称平面）：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在对称平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度方向相反。

四、绕定轴转动刚体的轴承动约束力

1. 绕定轴转动刚体的轴承动约束力

使轴承动约束力等于零的条件是惯性力系主矢等于零，惯性力系对于轴和轴的主矩等于零。刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动约束力的条件是——转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零。

2. 惯性主轴

如果刚体对于通过某点的轴的惯性积等于零，则称此轴为过该点的惯性主轴。通过质心的惯性主轴，称为中心惯性主轴。避免出现轴承附加动约束力的条件是，刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。

3. 静平衡

设刚体的转轴通过质心，且刚体除重力外，没有受到其他主动力作用，则刚体可以在任意位置静止不动，称这种现象为静平衡。

4. 动平衡

当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动时不出现轴承附加动约束力，这种现象称为动平衡。能够静平衡的定轴转动刚体不一定能够实现动平衡，但能够动平衡的定轴转动刚体肯定能够实现静平衡。

静力学

一、静力学公理和物体的受力分析

一、静力学公理

公理1 力的平行四边形公理（规则）

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，即合力矢等于这两个力矢的几何和。

公理2 二力平衡公理（条件）

作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。

公理3 加减平衡力系公理（原理）

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，与原力系对刚体的作用等效。

推论1 力的可传性

作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不影响该力对刚体的作用。对于刚体来说，力的作用点已为作用线所代替。因此，作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向和作用线。作用于刚体上的力可以沿着作用线移动，这种矢量称为滑动矢量。

推论2 三力平衡汇交定理

作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。

公理4 作用和反作用公理（牛顿第三定律）

作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线分别作用在两个相互作用的物体上。

公理5 刚化公理（原理）

变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。

二、约束和约束力

1. 约束

对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束，例如铁轨对于机车、轴承对于电机转子、钢索对于重物等。

2. 约束力

约束作用于非自由质点系的力称为约束力。指物体受到一定场力（仅由空间位置决定的力叫场力）限制的现象。限制物体的位置和运动条件称作物体所受的约束，实现这些约束条件的物体称为约束体。受到约束条件限制的物体叫作被约束体。把约束对物体的作用力称为约束力。按照习惯，把约束体简称为约束，将被约束体简称为物体。

3. 约束的类型

(1) 光滑接触面的约束：当物体在接触处摩擦力很小可以略去不计时，就是光滑接触面约束。特点：光滑接触面约束只能限制被约束物体沿接触面公法线方向的运动，因此，光滑接触面对被约束物体的约束反力作用在接触点，沿着接触面的公法线指向被约束的物体（即物体受压力）。

(2) 柔性约束：由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束。特点：只能承受拉力，不能承受压力，因而限制物体沿柔索伸长的方向运动。

(3) 光滑铰链约束：

1) 向心轴承(径向轴承)：轴可在孔内任意转动，也可沿孔的中心线移动，但是，轴承阻碍轴沿径向向外的位移。
2) 光滑圆柱铰链：由销钉C将两个钻有同样大小孔的构件连接在一起而成。一般不必单独分析销钉受力，当要分析时，必须把销钉单独取出。
3) 固定铰链支座：如果铰链连接中有一个固定在地面或机架上作为支座，则这种约束称为固定铰链支座，简称固定铰支。

4. 其他约束

(1) 滚动支座：在铰链支座与光滑支承面之间，装有几个辊轴而构成的，又称辊轴支座。

(2) 球铰链：通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束称为球铰链。

(3) 止推轴承：止推轴承与径向轴承不同，它除了能限制轴的径向位移以外，还能限制轴沿轴向的位移。

三、物体的受力分析和受力图（重难点）

1. 受力分析

解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即研究对象，然后根据已知条件、约束类型并结合基本概念和公理分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。

2. 作用在物体上的力的分类

(1) 被动力，即约束力。

(2) 主动力，例如物体的重力、风力、气体压力等。载荷：主动力通常称为载荷。

1) 集中载荷：载荷的作用范围很小，可忽略不计。
2) 分布载荷：载荷作用在整个物体或某一部分上。

① 体载荷：载荷作用在整个体积上。
② 面载荷：载荷作用在整个面积上。
③ 线载荷：载荷作用在整个长度上。

3. 受力图

画受力图的步骤：① 选择研究对象；② 取分离体；③ 画上主动力；④ 画出约束力。

二、平面力系

一、平面汇交力系

1. 几何法

平面汇交力系可简化为一个合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和（几何和），合力的作用线通过汇交点。平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。即

(1) 力的平行四边形法则或三角形法则 由两个共点力合成时，根据余弦定理：

2. 解析法

几何法解题也有许多不足之处，力系合成与平衡还有另一种方法：解析法。先建立一个坐标轴，将力分别投影到 x 轴和 y 轴上。

合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。它表明了合力与分力在同一坐标轴上投影时投影量之间的关系。因此合力大小为：

二、平面力对点之矩·平面力偶

1. 力矩

定义：力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。力矩的单位是。

力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按如下方法确定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时为正，反之为负。

2. 合力矩定理

平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于各分力对于该点之矩的代数和，即：

力矩的解析表达式：

合力对坐标原点之矩为：

3. 力偶与力偶矩

由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶。力偶的两力之间的垂直距离称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶的作用面。

力偶的性质：

力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能与一个力来平衡。

力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，且与矩心位置无关。

在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效条件。

任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。

只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。

力偶有三大要素： 大小、转向、作用面。

力偶矩： 力偶的力矩简称为力偶矩，亦称力偶的转矩，用表示。力偶是两个相等的平行力，它们的合力矩等于平行力中的一个力与平行力之间距离（称力偶臂）的乘积，称作力偶矩，力偶矩与转动轴的位置无关。

力偶矩的性质： 单位和力矩一样，常用“牛×米（千克×米²/秒²）”表示。力偶矩是矢量，其方向和组成力偶的两个力的方向间的关系，遵从右手螺旋法则。

4. 平面力偶系的合成和平衡条件

在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。

平面力偶系平衡的充要条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即：

三、平面任意力系的简化

1. 力的平移定理

将力从物体上的一个作用点移动到另外一点上，额外加上一个力偶矩，其大小等于这个力乘以两点距离，方向为移动后的力与移动前力的反向力形成的力偶的反方向。

2. 主矢和主矩

主矢：原力系各力的矢量和，称为原力系的主矢，但不是原力系的合力。

主矩：原力系各力对简化中心的矩，称为原力系对简化中心的主矩。

四、平面任意力系的平衡条件和平衡方程

1. 平面任意力系的平衡条件

平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。解析式为：

2. 平面任意力系的平衡方程

基本式：

二矩式：条件：x 轴不垂直 AB 连线。

三矩式：条件：A, B, C 三点不共线。

五、物理系的平衡·静定和超静定问题

1. 静定问题

当系统中的未知量数目小于等于独立平衡方程的数目时，则所有未知数都能由平衡方程求出，称这样的问题为静定问题。

2. 静不定问题（超静定）

若未知量的数目超过独立平衡方程的数目，则单独应用刚体静力学的理论就不能求出全部未知量，这样的问题称为静不定问题。

3. 静定与静不定结构

静定结构：几何特征为无多余约束几何不变，是实际结构的基础。静不定结构：具有多余约束的结构，又称超静定结构。

六、平面简单桁架的内力计算

1. 桁架

桁架是一种由直杆彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架的优点是：杆件主要承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，节约材料，减轻结构的重量。

2. 计算方法

(1) 节点法：桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取架内每个节点为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为节点法。

(2) 零杆：内力为零的杆件。

① L 型：两杆节点无载荷且两杆不在一条直线上。
② T 型：三杆节点无载荷，其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆。

3. 截面法

如只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，可以适当地选取一截面，假想地把桁架截开，再考虑其中任一部分的平衡，求出这些被截杆件的内力，这就是截面法。

三、空间力系

一、空间汇交力系

1. 力在坐标轴上的投影与分解

(1) 直接投影法： 已知力与正交坐标系三轴的夹角，力在三个轴上的投影等于力的大小乘以力与各轴夹角的余弦，即：

(2) 间接(二次)投影法： 当力与坐标轴的夹角不确定时，先把力投影到平面上，再分别投影到轴，即：

2. 空间汇交力系的合成与平衡条件

平面汇交力系的合成对于空间汇交力系同样适用，即空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。表达式为：

合力的大小和方向为：

空间汇交力系平衡的充分条件是：该力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。

二、力对点的矩和力对轴的矩

1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢

在空间力系中，力对点的矩需要考虑力矩的大小、转向和力矩作用面的方位这三个因素。这三个因素可以用一个矢量来表示。

计算方式如下：用来表示力作用点 A 的矢径，则：

以矩心 O 为原点建立坐标系，则：

2. 力对轴的矩

定义：力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小。其正负号规定如下：从轴的正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴按逆时针方向转动，则取正号，反之取负号。也可按右手螺旋法则规定其正负号。

性质：

当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。

当力沿作用线移动时，力对轴的矩不变。

解析表达式：设力在三个坐标轴上的投影分别为，力作用点 A 的坐标为，则同理，可得其他两式，故有

3. 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系

力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。

力对点的矩矢与对通过该点的某轴的矩，有不同又有联系。

三、空间力偶

1. 力偶矩以矢量表示——力偶矩矢

定义：空间力偶对物体的作用取决于力偶三要素：力偶矩的大小；力偶作用面在空间的方位；力偶在作用面内的转向。力偶三要素可用一个矢量表示，称为力偶矩矢。矢的长度表示力偶矩的大小，矢的方位垂直于力偶作用面，矢的指向与力偶转向间的关系服从右手定则。力偶矩矢是自由矢量。力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。

性质：只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它的作用面内任意移转；只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，也可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，不改变力偶对刚体的作用。

2. 空间力偶等效条件

作用在同一刚体上的两个力偶，若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。

3. 空间力偶系的合成与平衡条件

(1) 空间力偶系： 力偶作用面不在同一平面内的力偶系。

任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。表达式为：

合力偶矩的大小和方向为：

(2) 空间力偶系的平衡 空间力偶系平衡的充要条件为：合力偶矩矢等于零，即：

空间力偶系的平衡方程：因为所以

4. 空间任意力系的简化

1. 主矢 力系中各力的矢量和称为空间力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。

2. 主矩 力系中各力对简化中心的矩的矢量和称为力系对简化中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。

空间任意力系向任一点 O 简化，可得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心 O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。与平面任意力系一样，主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。

3. 空间任意力系的简化结果分析

空间任意力系向一点简化可能出现下列四种情况：

空间任意力系简化为一合力偶的情形，即：

空间任意力系简化为一合力的情形，合力矩定理，即：

空间任意力系简化为力螺旋的情形，即：

空间任意力系简化为平衡的情形，即：

5. 空间任意力系的平衡方程

平衡方程

空间任意力系平衡的充要条件是：各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零。

约束类型

特别提醒：注意固定端约束自带M!!!

六、物体的重心

1. 重心的定义

在地球附近的物体都受到地球对它的作用力，即物体的重力；重力作用于物体内每一微小部分，是一个分布力系。对于工程中一般的物体，这种分布的重力可足够精确地视为空间平行力系，一般所谓的重力，就是这个空间平行力系的合力。物体重力合力的作用点称为物体的重心，其坐标为：

2. 匀质物体的重心

对于匀质物体、匀质板或匀质杆，其重心坐标分别为：

匀质物体的重心就是几何中心，即形心。

3. 确定物体重心的方法

(1) 简单几何形状物体的重心 如均质物体有对称面、对称轴、对称中心，不难看出，该物体的重心必相应地在这个对称面、对称轴、对称中心上。例如：正圆锥体或正圆锥面、正棱柱体或正棱柱面的重心都在其轴线上；椭球体或椭圆面的重心在其几何中心上，平行四边形的重心在其对角线的交点上，等等。

(2) 组合法求重心 ① 分割法：如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，并且这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心为：

② 负面积法：若在物体或薄板内切去一部分，则这类物体的重心仍可应用与分割法相同的公式求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。

(3) 用实验方法确定重心的位置 ① 悬挂法例如，如果求一薄板的重心，可先将板悬挂于任一点 A，如图(a)所示。根据二力平衡条件，重心必在过悬挂点的铅直线上，于是可在板上画出此线。然后再将板悬挂于另一点 B，同样可画出另一条直线，如图(b)所示。两条直线相交于点 C，这个点就是重心。

② 称重法

四、摩擦

一、滑动摩擦

1. 静滑动摩擦力

(1) 定义 两个相互接触的物体，当其接触表面之间有相对滑动的趋势，但尚保持相对静止时，彼此作用着阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。

(2) 方向 总是与相对运动趋势方向相反，可用平衡法来判断。可以是阻力，也可以是动力，运动物体也可以受静摩擦力。

(3) 大小

(4) 最大静摩擦力 静摩擦力与一般约束力不同，它并不随力的增大而无限度地增大。当力的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力。

2. 动滑动摩擦力

(1) 定义 当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。

(2) 大小 （一般情况下，动摩擦因数小于静摩擦因数。）

实际上动摩擦因数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。对于不同材料的物体，动摩擦因数随相对滑动的速度变化规律也不同。多数情况下，动摩擦因数随相对滑动速度的增大而稍减小。但当相对滑动速度不大时，动摩擦因数可近似地认为是个常数。

(3) 方向 与物体运动方向相反。

二、摩擦角与自锁现象

1. 摩擦体

(1) 定义 当有摩擦时，支承面对平衡物体的约束力包含两个分量：法向约束力和切向约束力（即静摩擦力）。称这两个分力的几何和为支承面的全约束力，它的作用线与接触面的公法线成一偏角。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，偏角也达到最大值。称全约束力与法线间的夹角的最大值为摩擦角，即摩擦角的正切等于静摩擦因数。

(2) 公式

2. 摩擦锥

当物块的滑动趋势发生改变时，全约束力作用线的方位也随之改变；在临界状态下，的作用线将画出一个以接触点 A 为顶点的锥面，称为摩擦锥。

设物块与支承面间沿任何方向的摩擦因数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为的圆锥。

3. 摩擦因数的测定方法

利用摩擦角的概念测定摩擦因数。

4. 自锁现象

(1) 定义 如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之内，则无论这个力多么大，物块必保持静止，称这种现象为自锁现象。因为在这种情况下，主动力的合力与法线间的夹角，因此，主动力的合力的作用线必在摩擦角之内，而全约束力的作用线也在此摩擦角之内，主动力的合力和全约束力必能满足二力平衡条件。

(2) 自锁的应用 工程实际中常应用自锁原理设计一些机构或夹具，如千斤顶、压榨机、圆锥销等，使它们始终保持在平衡状态下工作。

三、考虑摩擦时物体的平衡问题

1. 判断物体是否平衡

步骤：

假设一个摩擦力。

求出与，若为负值则与假设方向相反。

计算出，若，则物体平衡，否则不平衡。

2. 求平衡范围问题

步骤：

设物体处于某种临界平衡，摩擦力达到最大值，根据物体运动趋势判断方向。

，根据平衡方程求出未知量。

分析平衡范围。

3. 临界平衡问题

设物体处于某种临界平衡，摩擦力达到最大值，根据物体运动趋势判断方向。

，根据平衡方程求出未知量。

四、滚动摩阻的概念

1. 滚动摩阻力偶矩

(1) 方向 用表示，滚动摩阻力偶的转向与滚动的趋势或滚动的角速度相反。

(2) 最大滚动摩阻力偶矩 与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩随着主动力偶矩的增加而增大，当力增加到某个值时，滚子处于将滚未滚的临界平衡状态。这时，滚动摩阻力偶矩达到最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩。若力再增大一点，滚子就会滚动。在滚动过程中，滚动摩阻力偶矩则为动滚动摩阻力偶矩。

(3) 滚动摩阻定律 最大滚动摩阻力偶矩与滚子的半径无关，而与支承面的正压力（法向约束力）的大小成正比。

(4) 滚动摩阻系数 是比例常数，称为滚动摩阻系数。由上式知，滚动摩阻系数具有长度的量纲，单位一般用 mm。滚动摩阻系数由实验测定，它与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关，与滚子的半径无关。

2. 主动力的计算

(1) 滑动主动力： 因为临界时，，所以。

(2) 滚动主动力 因为临界时，，所以。

注：一般情况下，，滚动比滑动容易。

注：通过观察，考试题目以平面力系为主

运动学

一、点的运动学

一、矢量法

1. 矢径

选取参考系上某确定点为坐标原点，自点向动点作矢量，称为点相对原点的位置矢量，简称矢径。

2. 运动方程

当动点运动时，矢径随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即，称为以矢量表示的点的运动方程。

3. 轨迹

动点在运动过程中，其矢径的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。显然，矢径的矢端曲线就是动点的运动轨迹。

4. 速度

动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。

5. 加速度

点的速度矢相对时间的变化率称为加速度。动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数。

二、直角坐标法

1. 运动方程

这些方程称为以直角坐标表示的点的运动方程。当点在某一平面运动时，运动方程为：。

2. 轨迹

将运动方程中的时间消去，可以得到点的轨迹方程。对于平面问题有：

3. 速度

速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。

4. 加速度

加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。

三、自然法

1. 概念

利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法称为自然法。

2. 弧坐标

在轨迹上任选一点为参考点，并设点的某一侧为正向，动点在轨迹上的位置由弧长确定，视弧长为代数量，称它为动点在轨迹上的弧坐标。当动点运动时，，上式称为点沿轨迹的运动方程，或以弧坐标表示的点的运动方程。

3. 自然轴系

密切面：在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点和，其间的弧长为，这两点切线的单位矢量分别为和，其指向与弧坐标正向一致，如图所示。将平移至点，则和决定一平面。令无限趋近点，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点的密切面。

法平面：过点并与切线垂直的平面称为法平面。

主法线：法平面与密切面的交线称为主法线，指向曲线内凹一侧。

副法线：过点且垂直于切线及主法线的直线称为副法线。

自然轴：以点为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。

4. 点的速度

速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值。

5. 切向加速度

切向加速度反映点的速度值相对时间的变化率，它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数，它的方向沿轨迹切线。

6. 法向加速度

法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，它的大小等于点的速度平方除以曲率半径，它的方向沿着主法线，指向曲率中心。

7. 全加速度

全加速度为切向加速度与法向加速度的矢量和。

8. 两种特殊运动

曲线匀速运动动点速度的代数值保持不变，这种运动称为曲线匀速运动。

9. 单位矢量

单位矢量对时间的一次导数是在旋转平面内的另一矢量，它的大小等于矢量的转角对时间的一阶导数的绝对值，它的方向与原矢量垂直，指向旋转方向。

二、刚体的简单运动

一、刚体的平行移动

1. 定义

如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。

2. 实例

直线行驶的汽车（正在转弯的汽车不是平动）、摆动筛的筛槽、送料机构中送料槽的运动，车床上刀架的运动，汽缸内活塞的运动。

二、刚体绕定轴的转动

1. 定义

刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴或轴线，简称轴。

2. 刚体定轴转动定律

刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积，即（各量需是同一时刻对同一刚体、同一转体）。

3. 运动方程

通过轴线作固定平面及一动平面，这个平面与刚体固结，一起转动。两个平面间的夹角称为刚体的转角。转角是一个代数量，符号规定如下：自轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计算角，取正值；按顺时针转向计算角，取负值。当刚体转动时，转角是时间的单值连续函数，即。这个方程称为刚体绕定轴转动的运动方程。

4. 角速度

转角对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度。

角速度是代数量，它表征刚体转动的快慢和方向。角速度正负的规定：从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取正值，反之取负值。

5. 角加速度

角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度。

角加速度是代数量，它表征角速度变化的快慢。如果与同号，则转动是加速的；如果与异号，则转动是减速的。

6. 两种特殊情况

匀速转动：如果常量，这种转动称为匀速转动。

匀变速转动：如果常量，这种转动称为匀变速转动。

三、转动刚体内各点的速度和加速度

1. 速度

转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。

2. 加速度

切向加速度：转动刚体内任一点的切向加速度（又称转动加速度）的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定。当是正值时，它沿圆周的切线，指向角的正向，否则相反。

法向加速度：转动刚体内任一点的法向加速度（又称向心加速度）的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。

全加速度：在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比；在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间的夹角都有相同的值。

四、轮系的转动比

1. 齿轮转动

处于啮合中的两个定轴齿轮的角速度与两齿轮的齿数成反比（或与两轮的啮合圆半径成反比）。

2. 带轮转动

带轮传动中两轮的角速度与其半径成反比。

五、以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度

1. 角速度的矢量表示角速度矢

角速度矢大小等于角速度的绝对值。

角速度矢沿轴线，它的指向表示刚体转动的方向；如果从角速度矢的末端向始端看，则看到刚体作逆时针转向的转动；或按照右手螺旋规则确定：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角速度矢的指向。至于角速度矢的起点，可在轴线上任意选取，也就是说，角速度矢是滑动矢。

2. 角加速度的矢量表示角加速度矢

角加速度矢为角速度矢对时间的一阶导数。

3. 速度的矢积

绕定轴转动的刚体上任一点的速度矢等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积。

4. 加速度的矢积表示

转动刚体内任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积，法向加速度等于刚体的角速度矢的平方与该点矢径的矢积。

三、点的合成运动

一、相对运动·牵连运动·绝对运动

1. 合成运动

相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。

2. 定参考系与动参考系

习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，简称定系，以坐标系表示。固定在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，简称动系，以坐标系表示。

3. 绝对运动、相对运动、牵连运动

动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动。动点相对于动参考系的运动，称为相对运动。动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。

4. 三种运动的轨迹、速度、加速度

相对轨迹：动点在相对运动中的轨迹。

相对速度：动点相对动系的速度。

相对加速度：动点相对动系的加速度。

绝对轨迹：动点在绝对运动中的轨迹。

绝对速度：动点相对于定系的速度。

绝对加速度：动点相对于定系的加速度。

5. 绝对运动、相对运动和牵连运动之间的关系

利用坐标变换来建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。

二、点的速度合成定理

点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即动点的绝对速度可以由牵连速度与相对速度所构成的平行四边形的对角线来确定。这个平行四边形称为速度平行四边形。

三、牵连运动是平移时点的加速度合成定理

当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。

四、牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理·科氏加速度

1. 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理

当动系做定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度的矢量和。

2. 科氏加速度

科氏加速度是由于动系为转动时，牵连运动与相对运动相互影响而产生的。科氏加速度是1832年由科里奥利发现的，因而命名为科里奥利加速度，简称科氏加速度。科氏加速度在自然现象中是有所表现的。地球绕地轴转动，地球上物体相对于地球运动，这都是牵连运动为转动的合成运动。地球自转角速度很小，一般情况下其自转的影响可略去不计；但是在某些情况下，却必须给予考虑。例如，在北半球，河水向北流动时，河水的科氏加速度向西，即指向左侧，如教材图7-16所示。由动力学可知，有向左的加速度，河水必受有右岸对水的向左的作用力。根据作用与反作用定律，河水必对右岸有反作用力。北半球的江河，其右岸都受有较明显的冲刷，这是地理学中的一项规律。

科氏加速度是动基的转动与动点相对运动相互耦合引起的加速度。科氏加速度的方向垂直于角速度矢量和相对速度矢量，公式为：

注：选择转动的物体为参考系，则存在科氏加速度。只有定轴转动才有科氏加速度。其中，是参考系相对于惯性系的旋转速度，是物体在这个旋转参考系中的速度。

四、刚体的平面运动

一、刚体平面运动的概念和运动分解

1. 定义

在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。

2. 刚体平面运动的简化

刚体的平面运动可简化为平面图形在它自身平面内的运动。

3. 运动方程

为确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。

4. 刚体平面运动的分解

平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。

二、求平面图形内各点速度的基点法

1. 基点法

平面图形内任一点的运动也是两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度，这种方法称为基点法。平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。

2. 速度投影定理

同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。

即

三、求平面图形内各点上速度的瞬心法

1. 速度瞬心

一般情况，在每一瞬时，平面图形内都唯一地存在一个速度为零的点。在某一瞬时，平面图形内速度等于零的点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。

2. 平面图形内各点的速度及其分布

平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。由于平面图形绕任意点转动的角速度都相等，因此图形绕速度瞬心转动的角速度等于图形绕任一基点转动的角速度，以表示这个角速度。

3. 确定速度瞬心位置的方法

4. 加速度瞬心

平面运动刚体任一瞬时，绝对加速度为零的点称为加速度瞬心。一般情况下，刚体可看作在瞬时，绕加速度瞬心做定轴转动。各点绝对加速度方向不再与点到瞬心连线垂直，而是有一个夹角，但大小还是类似速度瞬心那样的存在线性关系。

四、用基点法求平面图形内各点的加速度

1. 基点法（合成法）

平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。

2. 加速度瞬心

五、运动学综合应用举例

求解运动学综合问题应注意以下几点：

要分清各物体都作什么运动，要计算有关连接点的速度和加速度。

分析某点的运动。

如能找出其位置与时间的函数关系，则可直接建立运动方程，用解析方法求其运动全过程的速度和加速度。

当难以建立点的运动方程或只对机构某些瞬时位置的运动参数感兴趣时，可根据刚体各种不同运动的形式，确定此刚体的运动与其上一点运动的关系，并常用合成运动或平面运动的理论来分析相关的两个点在某瞬时的速度和加速度的联系。

平面运动理论用来分析同一平面运动刚体上两个不同点间的速度和加速度的联系。

动力学

一、质点动力学的基本方程

一、动力学的基本定律

1. 第一定律（惯性定律）

不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。

2. 第二定律（力与加速度之间的关系定律）

质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即上式是第二定律的数学表达式，也是质点动力学的基本方程。当质点上受到多个力作用时，上式中的 \( \) 应为此汇交力系的合力。

上式表明，质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。

3. 第三定律（作用与反作用定律）

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。

4. 牛顿三定律

质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿（公元 1642—1727 年）在总结前人，特别是伽利略研究成果的基础上提出来的，称为牛顿三定律。

以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学（经典力学）。在古典力学范畴内，认为质量是不变的量，空间和时间是“绝对的”，与物体的运动无关。近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体运动的速度有关，但当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对于质量、时间和空间的影响是微不足道的，对于一般工程中的机械运动问题，应用古典力学都可得到足够精确的结果。如果物体的速度接近于光速，或所研究的现象涉及物质的微观世界，则需应用相对论力学或量子力学。

二、质点的运动微分方程

1. 矢量形式的质点运动微分方程

质点受到 \( \) 个力 \( \) 作用时，则有 \( \)，称为矢量形式的微分方程。

2. 投影形式的质点运动微分方程

(1) 在直角坐标轴上的投影。

(2) 在自然轴上投影。

3. 质点动力学的两类基本问题

(1) 已知质点的运动，求作用于质点的力。

(2) 已知作用于质点的力，求质点的运动。

4. 动力学两类问题的求解

求解动力学第一类问题，如已知质点的运动方程，只需求两次导数得到质点的加速度，代入质点的微分方程中，得一代数方程组，即可求解。

求解第二类问题，需要进行积分运算，是解微分方程或求积分的问题，还需要确定相应的积分常数。对此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。

5. 求解动力学问题的步骤

画受力图。

以质点的绝对加速度代入公式。

与参考系坐标轴同向的力与加速度的投影，以正值代入公式，否则以负值代入。

6. 质点动力学的基本方程的解题步骤

取研究对象。

对质点作运动分析。

对质点作受力分析。

建立质点的运动微分方程，求解未知量。

二、动量定理

一、动量与冲量

1. 动量

质点动量：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。在国际单位制中，动量的单位为 kg·m/s。公式：\( \)。

质点系动量：质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，质点系的动量是矢量。与重心坐标相似，定义质点系质量中心（简称质心），则质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。这表明质点系的动量是描述质点运动的一个物理量。公式：\( \)。

2. 冲量

物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。如果作用力是常量，我们用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。常力的冲量：\( \)。

变力的冲量：\( \)。冲量是矢量，它的方向与常力的方向一致。在国际单位制中，冲量的单位是 N·s。

二、动量定理

1. 质点的动量定理

(1) 微分形式：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。\( \)。

(2) 积分形式：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。\( \)。

(3) 投影形式： \[ \begin{align*} \frac{d}{dt}(mv_x) &= F_x, & m v_{2x} - m v_{1x} = I_x = \int_{t_1}^{t_2} F_x dt \\ \frac{d}{dt}(mv_y) &= F_y, & m v_{2y} - m v_{1y} = I_y = \int_{t_1}^{t_2} F_y dt \\ \frac{d}{dt}(mv_z) &= F_z, & m v_{2z} - m v_{1z} = I_z = \int_{t_1}^{t_2} F_z dt \end{align*} \]

2. 质点系的动量定理

(1) 微分形式：质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。或质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系外力的矢量和（或外力的主矢）。\( dP = \sum F_i^{(e)} = \sum dI_i^{(e)} \)。

(2) 积分形式：在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。\( P_2 - P_1 = \sum I_i^{(e)} \)。

(3) 投影形式： \[ \begin{align*} \frac{dP_x}{dt} &= \sum F_{u}^{(e)}, & P_{2x} - P_{1x} = \sum I_{u}^{(e)} = \sum \int_{t_1}^{t_2} F_{u r}^{(e)} dt \\ \frac{dP_y}{dt} &= \sum F_{v}^{(e)}, & P_{2y} - P_{1y} = \sum I_{v y}^{(e)} = \sum \int_{t_1}^{t_2} F_{v y}^{(e)} dt \\ \frac{dP_z}{dt} &= \sum F_{w}^{(e)}, & P_{2z} - P_{1z} = \sum I_{w}^{(e)} = \sum \int_{t_1}^{t_2} F_{w z}^{(e)} dt \end{align*} \]

3. 质心运动守恒定律

若 \( \)，则 \( \) 常矢量。

若 \( \)，则 \( \) 常量。

只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但是可改变质点系中各质点的动量。

三、质心运动定理

1. 质点中心

质点系在力的作用下，其运动状态与各质点的质量及其的位置都有关系，即与质点系的质量分布状况有关。

所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种特征。质心的概念及质心运动在质点系（特别是刚体）动力学中具有重要地位。

\( \)

2. 质心运动定理

(1) 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和（即等于外力的主矢），这种规律称为质心运动定理。 \( \)

质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以看成为一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。

(2) 投影形式： \[ \begin{align*} m a_{C r} &= m \ddot{x_C} = \sum F_{i r}^{(e)}, & m a_{C y} = m \ddot{y_C} = \sum F_{i y}^{(e)}, & m a_{C r} = m \ddot{z_C} = \sum F_{i z}^{(e)} \\ m a_{C r} &= m \frac{d v}{d t} = \sum F_{\pi}^{(e)}, & m a_{C s} = m \frac{v_{C}^2}{\rho} = \sum F_{\pi}^{(e)}, & \sum F_{\pi}^{(e)} = 0 \end{align*} \]

3. 质心运动守恒定律

(1) 如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置始终保持不变。

(2) 如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。

4. 质心运动定理可以求解的两类动力学问题

(1) 已知质点系质心的运动，求作用于质点系的外力（包括约束力）。

(2) 已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。

5. 运用动量定理或质心运动定理解题的方法步骤

选取研究对象。

运动分析。

受力分析。

建立方程。

三、动量矩定理

一、质点和质点系的动量矩

1. 质点的动量矩

设质点 \( \) 某瞬时的动量为 \( \)，质点相对点 \( \) 的位置用矢径 \( \) 表示。质点 \( \) 的动量对于点 \( \) 的矩，定义为质点对于点 \( \) 的动量矩，即 \( \)。质点对于点 \( \) 的动量矩是矢量。

质点动量 \( \) 在 \( \) 平面内的投影对于点 \( \) 的矩，定义为质点动量对于 \( \) 轴的矩，简称对于 \( \) 轴的动量矩。对轴的动量矩是代数量。

质点对点 \( \) 的动量矩与对轴的动量矩，二者的关系仍可仿照力对点的矩与力对轴的矩的关系建立，即质点对点 \( \) 的动量矩矢在 \( \) 轴上的投影，等于对 \( \) 轴的动量矩。

2. 质点系的动量矩

质点系对某点 \( \) 的动量矩等于各质点对同一点 \( \) 的动量矩的矢量和，或称为质点系动量对 \( \) 点的主矩，即 \( \)。

质点系对某轴 \( \) 的动量矩等于各质点对同一 \( \) 轴动量矩的代数量和，即 \( \)。同理可得 \( \)。

质点系对某点 \( \) 的动量矩矢在通过该点的 \( \) 轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。

3. 刚体动量矩的计算

(1) 平移的刚体可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩，\( \)。

(2) 绕定轴转动的刚体绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。\( \)。

(3) 平面运动的刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。\( \)。

二、动量矩定理

1. 质点的动量矩定理

质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。\( \)。

投影形式为： \[ \begin{align*} \frac{d}{dt} M_x(F) &= M_x(F), \\ \frac{d}{dt} M_y(F) &= M_y(F), \\ \frac{d}{dt} M_z(F) &= M_z(F) \end{align*} \]

2. 质点系的动量矩定理

质点系对于某定点 \( \) 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点 \( \) 的主矩）。投影形式为： \[ \begin{align*} \frac{dL_x}{dt} &= \sum F_{x}^{(e)}, \\ \frac{dL_y}{dt} &= \sum F_{y}^{(e)}, \\ \frac{dL_z}{dt} &= \sum F_{z}^{(e)} \end{align*} \]

动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。